As Equações do tipo ax² = b são conteúdos importantes da matemática do 8º ano, pois ajudam os alunos a compreenderem uma forma inicial de equação do segundo grau. Ao estudar Equações do tipo ax² = b, o estudante começa a perceber que algumas equações possuem a incógnita elevada ao quadrado e que, para resolvê-las, é necessário trabalhar com divisão e raiz quadrada.
A habilidade da BNCC relacionada a esse tema é a EF08MA09, que envolve resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax² = b.
Trabalhar Equações do tipo ax² = b em sala de aula é uma forma de preparar os alunos para conteúdos mais avançados, como equações do segundo grau completas, funções quadráticas e situações envolvendo áreas. Esse conteúdo também permite revisar raiz quadrada, potenciação, operações inversas e interpretação de problemas.
As Equações do tipo ax² = b aparecem em situações em que uma quantidade desconhecida está elevada ao quadrado. Por isso, elas podem ser exploradas com exemplos envolvendo áreas de quadrados, medidas de lados, organização de terrenos, figuras geométricas e problemas algébricos simples.
O que são Equações do tipo ax² = b?
As Equações do tipo ax² = b são equações em que a incógnita aparece elevada ao quadrado, multiplicada por um número, e igualada a outro valor.
A estrutura geral é:
ax² = b
Nessa representação:
a é um número diferente de zero;
x é a incógnita;
b é o valor conhecido.
Um exemplo de Equações do tipo ax² = b é:
2x² = 18
Para resolver, primeiro precisamos isolar o x². Como o x² está multiplicado por 2, fazemos a operação inversa, dividindo os dois lados por 2:
x² = 18 ÷ 2
x² = 9
Agora, precisamos descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em 9.
x = 3 ou x = -3
Portanto, a equação 2x² = 18 possui duas soluções: 3 e -3.
Esse é um ponto importante no estudo de Equações do tipo ax² = b. Muitos alunos encontram apenas a solução positiva, mas é necessário lembrar que tanto 3² quanto (-3)² resultam em 9.
Como resolver Equações do tipo ax² = b?
Para resolver Equações do tipo ax² = b, o aluno pode seguir uma sequência simples.
Primeiro, deve identificar o valor de a e o valor de b. Depois, precisa dividir os dois lados da equação pelo valor que acompanha o x². Em seguida, deve aplicar a raiz quadrada para encontrar os possíveis valores de x.
Veja o exemplo:
3x² = 75
Primeiro, dividimos os dois lados por 3:
x² = 75 ÷ 3
x² = 25
Agora, procuramos os números que, elevados ao quadrado, resultam em 25.
x = 5 ou x = -5
Portanto, as soluções da equação são 5 e -5.
Esse procedimento mostra que as Equações do tipo ax² = b exigem atenção em duas etapas principais: isolar o x² e depois encontrar a raiz quadrada.
Outro exemplo:
5x² = 20
Dividindo por 5:
x² = 4
Calculando a raiz quadrada:
x = 2 ou x = -2
Portanto, as soluções são 2 e -2.
Ao ensinar Equações do tipo ax² = b, é importante que o professor mostre que resolver a equação não é apenas “passar número para o outro lado”. O ideal é reforçar a ideia de operação inversa, mostrando que a divisão desfaz a multiplicação e a raiz quadrada desfaz a potência ao quadrado.
Equações do tipo ax² = b e raiz quadrada
As Equações do tipo ax² = b estão diretamente ligadas ao estudo da raiz quadrada. Isso acontece porque, depois que o aluno isola o x², ele precisa descobrir qual número elevado ao quadrado gera determinado resultado.
Por exemplo:
x² = 36
Nesse caso, muitos alunos respondem rapidamente que x = 6. Porém, é importante mostrar que existe também a possibilidade x = -6, pois:
6² = 36
(-6)² = 36
Assim, em Equações do tipo ax² = b, quando o resultado de x² é um número positivo, normalmente aparecem duas soluções reais: uma positiva e uma negativa.
Veja outro exemplo:
4x² = 100
Dividimos os dois lados por 4:
x² = 25
Depois, aplicamos a raiz quadrada:
x = 5 ou x = -5
Portanto, as soluções são 5 e -5.
Esse tipo de exemplo ajuda o aluno a compreender melhor o papel da raiz quadrada nas Equações do tipo ax² = b.
Também é importante apresentar situações em que a raiz não é exata. Por exemplo:
2x² = 10
Dividindo por 2:
x² = 5
Nesse caso, x pode ser representado como:
x = √5 ou x = -√5
Dependendo do nível da turma, o professor pode trabalhar apenas com raízes exatas no início e, depois, apresentar exemplos com raízes não exatas.
Equações do tipo ax² = b em problemas
As Equações do tipo ax² = b também podem ser trabalhadas por meio de situações-problema. Isso ajuda o aluno a perceber que esse conteúdo não aparece apenas em contas isoladas.
Veja um exemplo:
A área de um quadrado multiplicada por 2 é igual a 98 cm². Qual é a medida do lado desse quadrado?
Se o lado do quadrado é representado por x, sua área é x².
Como o dobro dessa área é 98, temos:
2x² = 98
Agora, resolvemos a equação:
x² = 98 ÷ 2
x² = 49
x = 7 ou x = -7
Como estamos falando de medida de lado, consideramos apenas o valor positivo.
Portanto, o lado do quadrado mede 7 cm.
Esse exemplo mostra que, em problemas geométricos, as Equações do tipo ax² = b podem ter duas soluções algébricas, mas apenas uma pode fazer sentido no contexto. Medidas de comprimento, por exemplo, não são negativas.
Outro exemplo:
O triplo do quadrado de um número é igual a 48. Qual é esse número?
Representamos o número por x:
3x² = 48
Dividimos por 3:
x² = 16
Calculamos a raiz quadrada:
x = 4 ou x = -4
Portanto, o número pode ser 4 ou -4.
Esse tipo de problema fortalece o estudo de Equações do tipo ax² = b, pois exige que o aluno transforme uma frase em linguagem algébrica.
Erros comuns em Equações do tipo ax² = b
Durante o estudo de Equações do tipo ax² = b, alguns erros aparecem com frequência.
Um erro comum é esquecer de dividir pelo número que acompanha o x². Por exemplo, na equação 2x² = 50, alguns alunos podem tentar calcular diretamente a raiz de 50, sem antes dividir por 2. O correto é:
2x² = 50
x² = 25
x = 5 ou x = -5
Outro erro comum é apresentar apenas a solução positiva. Nas Equações do tipo ax² = b, quando x² é igual a um número positivo, é necessário considerar o valor positivo e o valor negativo.
Também é comum que os alunos confundam x² com 2x. O professor deve reforçar que x² significa x multiplicado por ele mesmo, enquanto 2x significa 2 multiplicado por x.
Outro cuidado importante nas Equações do tipo ax² = b é interpretar o contexto do problema. Em uma situação puramente algébrica, podem existir duas soluções. Porém, em problemas com medida, área, comprimento ou distância, geralmente apenas a solução positiva é aceita.
Sugestão de atividade sobre Equações do tipo ax² = b
Para trabalhar Equações do tipo ax² = b em sala de aula, o professor pode começar com equações simples, em que a raiz quadrada seja exata. Depois, pode avançar para problemas contextualizados e situações com interpretação geométrica.
Exemplos de questões para a atividade:
- Resolva a equação 2x² = 18.
- Resolva a equação 3x² = 48.
- Resolva a equação 5x² = 125.
- Resolva a equação 4x² = 64.
- O dobro do quadrado de um número é 72. Qual é esse número?
- O triplo do quadrado de um número é 147. Qual é esse número?
- A área de um quadrado foi multiplicada por 4 e resultou em 100 cm². Qual é a medida do lado desse quadrado?
- Crie um problema que possa ser representado por uma das Equações do tipo ax² = b.
Essas questões permitem trabalhar as Equações do tipo ax² = b de forma progressiva, começando pela resolução direta e avançando para a elaboração de problemas, conforme orienta a habilidade EF08MA09.
Atividade de Equações do tipo ax² = b para o 8º ano
A atividade de Equações do tipo ax² = b para o 8º ano pode ser organizada em três partes.
Na primeira parte, os alunos resolvem equações simples, com foco em isolar o x² e aplicar a raiz quadrada.
Na segunda parte, os alunos resolvem problemas escritos, transformando frases em equações. Essa etapa é importante porque desenvolve a interpretação matemática.
Na terceira parte, os estudantes podem elaborar seus próprios problemas envolvendo Equações do tipo ax² = b. Essa proposta ajuda a verificar se eles compreenderam a estrutura da equação e se conseguem criar uma situação coerente.
Ao final, o professor pode pedir que os alunos expliquem o caminho usado para resolver cada questão. Essa explicação é importante para identificar se o estudante compreendeu as Equações do tipo ax² = b ou se apenas repetiu um procedimento.
Baixe a atividade em PDF
Para trabalhar esse conteúdo com sua turma, prepare uma atividade de matemática com foco em Equações do tipo ax² = b, alinhada à habilidade EF08MA09 da BNCC.
A atividade pode ser usada em sala de aula, como tarefa de casa, revisão, reforço ou avaliação diagnóstica.
Com exemplos resolvidos, problemas contextualizados e exercícios progressivos, o estudo de Equações do tipo ax² = b se torna mais claro e acessível para os alunos do 8º ano.
Para continuar o planejamento, veja também:
Atividades de Matemática 1º Ano – Ensino Fundamental
Atividades de Matemática 2º Ano – Ensino Fundamental
Atividade de Matemática 3º Ano
Atividades de Matemática – 4º Ano – Ensino Fundamental
Atividade de Matemática 5º Ano
Atividade de Matemática 6º Ano
Atividade de Matemática 7º Ano
Atividade de matemática 8º ano para sala de aula
Atividades de Matemática – 9º Ano – Ensino Fundamental
Equações do tipo ax² = b
