As Funções entre duas variáveis são um conteúdo importante da matemática do 9º ano, pois ajudam os alunos a compreenderem relações de dependência entre grandezas. Ao estudar Funções entre duas variáveis, o estudante percebe que uma quantidade pode depender de outra e que essa relação pode ser representada por tabelas, expressões algébricas, gráficos e situações do cotidiano.
A habilidade da BNCC relacionada a esse tema é a EF09MA06, que trabalha a compreensão das funções como relações de dependência entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica. Dessa forma, ao trabalhar Funções entre duas variáveis, o professor ajuda os alunos a entenderem que uma variável pode mudar de acordo com o valor assumido por outra.
Esse conteúdo é fundamental para o desenvolvimento do pensamento algébrico, pois mostra que a matemática pode representar situações reais. Preço de uma corrida, valor de uma compra, consumo de energia, quantidade de produtos, tempo de viagem e distância percorrida são exemplos de situações que podem ser estudadas por meio de Funções entre duas variáveis.
Por exemplo, imagine que uma papelaria venda cada caderno por R$ 8,00. O valor total pago depende da quantidade de cadernos comprados. Se representarmos a quantidade de cadernos por x e o valor total por y, podemos escrever:
y = 8x
Nesse caso, x é a quantidade de cadernos e y é o valor total da compra. Assim, temos uma relação entre duas variáveis. Esse é um exemplo simples de Funções entre duas variáveis, pois o valor total depende diretamente da quantidade comprada.
Se o aluno comprar 1 caderno, pagará:
y = 8 · 1
y = 8
Se comprar 2 cadernos:
y = 8 · 2
y = 16
Se comprar 5 cadernos:
y = 8 · 5
y = 40
Esse exemplo mostra que, nas Funções entre duas variáveis, uma variável assume valores diferentes e a outra muda de acordo com esses valores.
O que são Funções entre duas variáveis?
As Funções entre duas variáveis acontecem quando uma variável depende de outra. Em geral, usamos x para representar a variável independente e y para representar a variável dependente.
A variável independente é aquela que escolhemos ou controlamos. A variável dependente é aquela que muda de acordo com o valor da primeira.
No exemplo dos cadernos, a quantidade de cadernos é a variável independente. O valor total pago é a variável dependente, pois depende da quantidade comprada.
Outro exemplo de Funções entre duas variáveis pode aparecer em uma corrida de aplicativo. Imagine que uma corrida tenha uma taxa fixa de R$ 5,00 mais R$ 3,00 por quilômetro rodado.
A expressão que representa o valor total da corrida pode ser:
y = 3x + 5
Nesse caso:
x representa a quantidade de quilômetros rodados.
y representa o valor total da corrida.
Se a corrida tiver 4 km, temos:
y = 3 · 4 + 5
y = 12 + 5
y = 17
Portanto, o valor da corrida será R$ 17,00.
Esse é um bom exemplo de Funções entre duas variáveis, pois mostra uma situação real em que o valor final depende da distância percorrida.
Ao trabalhar Funções entre duas variáveis, o professor pode destacar que a função estabelece uma regra. Essa regra permite descobrir o valor de uma variável quando conhecemos o valor da outra.
Representações das Funções entre duas variáveis
As Funções entre duas variáveis podem ser representadas de diferentes formas. As principais são a representação por tabela, por expressão algébrica e por gráfico.
A tabela ajuda o aluno a organizar os valores. A expressão algébrica mostra a regra da função. O gráfico permite visualizar a relação entre as variáveis no plano cartesiano.
Veja o exemplo:
y = 2x + 1
Podemos escolher alguns valores para x e calcular os valores de y.
Se x = 0:
y = 2 · 0 + 1
y = 1
Se x = 1:
y = 2 · 1 + 1
y = 3
Se x = 2:
y = 2 · 2 + 1
y = 5
Se x = 3:
y = 2 · 3 + 1
y = 7
Assim, temos os pares ordenados:
(0, 1)
(1, 3)
(2, 5)
(3, 7)
Ao marcar esses pontos no plano cartesiano, o aluno consegue visualizar a relação entre x e y. Esse processo ajuda a compreender melhor as Funções entre duas variáveis, pois mostra que a mesma relação pode aparecer em forma de conta, tabela e gráfico.
O professor pode pedir que os alunos observem o que acontece com y quando x aumenta. Nesse exemplo, sempre que x aumenta 1 unidade, y aumenta 2 unidades. Isso mostra uma regularidade na função.
Exemplos resolvidos de Funções entre duas variáveis
Para ensinar Funções entre duas variáveis, é importante apresentar exemplos próximos da realidade dos alunos.
Veja um exemplo:
Uma gráfica cobra R$ 2,00 por impressão. O valor total depende da quantidade de páginas impressas.
Podemos representar essa situação por:
y = 2x
Nesse caso:
x é a quantidade de páginas.
y é o valor total pago.
Se forem impressas 10 páginas:
y = 2 · 10
y = 20
Portanto, o valor será R$ 20,00.
Se forem impressas 25 páginas:
y = 2 · 25
y = 50
Portanto, o valor será R$ 50,00.
Esse exemplo de Funções entre duas variáveis ajuda o aluno a perceber que uma mesma regra pode ser usada para diferentes quantidades.
Outro exemplo:
Uma academia cobra taxa de matrícula de R$ 30,00 mais mensalidade de R$ 50,00 por mês. O valor total pago depende do número de meses.
A expressão pode ser:
y = 50x + 30
Nesse caso:
x representa o número de meses.
y representa o valor total pago.
Se o aluno frequentar a academia por 4 meses:
y = 50 · 4 + 30
y = 200 + 30
y = 230
Portanto, o valor total será R$ 230,00.
Se frequentar por 8 meses:
y = 50 · 8 + 30
y = 400 + 30
y = 430
Portanto, o valor total será R$ 430,00.
Esse tipo de problema mostra como as Funções entre duas variáveis podem representar situações financeiras simples, facilitando a interpretação matemática.
Como trabalhar Funções entre duas variáveis em sala de aula?
Para trabalhar Funções entre duas variáveis em sala de aula, o professor pode começar com situações do cotidiano. Antes de apresentar fórmulas, é importante que os alunos compreendam a ideia de dependência entre grandezas.
Uma boa pergunta inicial é:
O que depende de quê?
Por exemplo:
O valor da compra depende da quantidade de produtos.
A distância percorrida depende do tempo de deslocamento.
O valor da corrida depende da quantidade de quilômetros.
A nota final pode depender da quantidade de acertos.
Essas situações ajudam os estudantes a entenderem a ideia central das Funções entre duas variáveis.
Depois, o professor pode transformar essas situações em expressões algébricas simples. Em seguida, pode organizar os valores em tabelas e, por fim, representar os pares ordenados no plano cartesiano.
Uma sequência possível para a aula é:
Primeiro, apresentar uma situação real.
Depois, identificar as duas variáveis.
Em seguida, descobrir qual variável depende da outra.
Depois, escrever a regra da função.
Por fim, construir uma tabela e representar os valores no gráfico.
Essa organização ajuda os alunos a compreenderem Funções entre duas variáveis de forma gradual, sem transformar o conteúdo apenas em substituição de valores em fórmulas.
Erros comuns em Funções entre duas variáveis
Durante o estudo de Funções entre duas variáveis, alguns erros aparecem com frequência. Um dos principais é não identificar corretamente qual variável depende da outra.
Por exemplo, em uma situação de compra, alguns alunos podem confundir o valor total com a quantidade de produtos. O professor pode intervir perguntando: “Quem muda primeiro?” e “Qual valor é calculado a partir do outro?”.
Outro erro comum é substituir o valor da variável no lugar errado. Se a expressão é y = 4x + 2 e x = 3, o aluno deve substituir apenas o x por 3:
y = 4 · 3 + 2
y = 12 + 2
y = 14
Também é comum que os alunos confundam tabela com gráfico. A tabela organiza os valores, enquanto o gráfico mostra esses valores no plano cartesiano.
Ao trabalhar Funções entre duas variáveis, o professor deve reforçar que os pares ordenados seguem a ordem (x, y). Se o aluno inverter essa ordem, o ponto será marcado incorretamente no plano cartesiano.
Outro erro frequente é pensar que toda relação entre duas grandezas é uma função. Para ser função, cada valor de x deve estar relacionado a um único valor de y. Essa ideia pode ser trabalhada com exemplos simples e sem excesso de formalismo no início.
Sugestão de atividade sobre Funções entre duas variáveis
Uma atividade sobre Funções entre duas variáveis pode começar com situações contextualizadas. O professor pode apresentar problemas em que os alunos precisam identificar as variáveis, escrever a expressão algébrica, completar uma tabela e interpretar os resultados.
Veja algumas sugestões de questões:
- Uma loja vende canetas por R$ 3,00 cada. Escreva uma função que represente o valor total pago de acordo com a quantidade de canetas compradas.
- Na função y = 5x, calcule o valor de y quando x = 2, x = 4 e x = 6.
- Uma corrida de aplicativo custa R$ 6,00 de taxa fixa mais R$ 2,50 por quilômetro. Escreva a função que representa o valor da corrida.
- Usando a função y = 2x + 6, complete uma tabela para x = 0, 1, 2, 3 e 4.
- Marque no plano cartesiano os pares ordenados encontrados na questão anterior.
- Explique com suas palavras qual é a variável independente e qual é a variável dependente em uma função.
- Crie uma situação do cotidiano que possa ser representada por uma função entre duas variáveis.
- Escreva a expressão algébrica da função criada e calcule três valores possíveis.
Essas questões ajudam os alunos a desenvolverem a habilidade EF09MA06, pois envolvem interpretação, representação algébrica, organização numérica e análise gráfica de Funções entre duas variáveis.
O professor também pode organizar a turma em duplas. Cada dupla cria uma situação real envolvendo Funções entre duas variáveis, monta uma tabela e troca com outra dupla para resolver. Essa prática estimula a elaboração de problemas e fortalece a compreensão do conteúdo.
Baixe a atividade em PDF
Para trabalhar esse conteúdo com sua turma, prepare uma atividade de matemática com foco em Funções entre duas variáveis, alinhada à habilidade EF09MA06 da BNCC.
Para continuar o planejamento, veja também:
Atividades de Matemática 1º Ano – Ensino Fundamental
Atividades de Matemática 2º Ano – Ensino Fundamental
Atividade de Matemática 3º Ano
Atividades de Matemática – 4º Ano – Ensino Fundamental
Atividade de Matemática 5º Ano
Atividade de Matemática 6º Ano
Atividade de Matemática 7º Ano
Atividade de matemática 8º ano para sala de aula
Atividades de Matemática – 9º Ano – Ensino Fundamental
Funções entre duas variáveis
